Некоторые числовые цепочки выглядят сложными уже с первого взгляда. Здесь всё спокойнее: числа растут последовательно, резких провалов и подозрительных перестановок цифр нет. Однако простое удвоение даёт неправильный результат, а ряд прибавок только добавляет вопросов.
Сложность примера выше средней. Для тех, кто регулярно решает подобные задачи, разумный ориентир составляет 25-40 секунд. Потребуется заметить сразу два уровня закономерности: одно действие остаётся прежним, другое меняется на каждом шаге.
Оценка сложности
★★★★☆ 4 из 5
Четыре звезды здесь вполне заслужены. Арифметика элементарная, но одного найденного действия недостаточно. Нужно удерживать основное правило, следить за меняющейся поправкой и проверять всю конструкцию с самого начала.
Исследователи, изучавшие сложность числовых рядов, создали 92 задания и проверили их на 466 участниках. Примеры, в которых требовалось сочетать две арифметические операции, оказались особенно трудными. Характеристики самих заданий позволяли довольно точно предсказывать их сложность.
Задание
Продолжите числовую цепочку:
10, 19, 36, 69, 134, ?
Сложность: ★★★★☆
Время на решение: 25-40 секунд
Калькулятор не понадобится. Выберите ответ и попробуйте объяснить все переходы одним правилом.
Почему числа почти подсказывают решение, но не отдают его сразу
Посмотрите, как быстро растёт последовательность. Каждое новое число находится довольно близко к удвоенному предыдущему:
19 почти вдвое больше 10
36 почти вдвое больше 19
69 почти вдвое больше 36
134 почти вдвое больше 69
Слово «почти» здесь особенно важно. Можно отбросить удвоение как неподходящую версию, поскольку результаты не совпадают. Можно поступить иначе: выяснить, насколько именно они расходятся.
При решении сложных цепочек полезно разделять две вещи:
- Какое действие повторяется?
- Что меняется внутри этого действия?
Пока эти вопросы смешаны, приходится перебирать десятки формул. После разделения поиск становится гораздо короче.
Что приходится удерживать в голове
В простой последовательности достаточно один раз обнаружить правило. Дальше человек повторяет знакомое вычисление почти автоматически. Здесь найденную версию приходится обновлять после каждого числа.
Исследование числового индуктивного мышления показало, что ограничение времени влияет на распознавание правил. Авторы также наблюдали реакции, которые связывали с обнаружением противоречия и обновлением информации в рабочей памяти. Иными словами, при поиске закономерности мало заметить знакомое действие, приходится ещё и вовремя исправлять собственную версию.
Именно поэтому секундомер делает задачу заметно острее. Человек видит близкое к удвоению число, но должен не торопиться с выводом и проверить размер каждой поправки.
Перед решением задайте себе три вопроса:
Что получилось бы после точного удвоения?
Сколько нужно убрать, чтобы прийти к числу из условия?
Меняется ли эта величина в понятном порядке?
Теперь можно проверять ответ.
Решение
Начинаем с числа 10. Умножаем его на 2 и вычитаем 1:
10 × 2 − 1 = 19
Следующее число снова умножаем на 2, но теперь вычитаем 2:
19 × 2 − 2 = 36
Продолжаем:
36 × 2 − 3 = 69
69 × 2 − 4 = 134
Основное действие не меняется: число каждый раз умножается на 2.
Меняется только величина, которую нужно вычесть:
1, 2, 3, 4
Следующим числом в этом ряду будет 5:
134 × 2 − 5 = 268 − 5 = 263
Правильный ответ: 263
Полная схема:
10 × 2 − 1 = 19
19 × 2 − 2 = 36
36 × 2 − 3 = 69
69 × 2 − 4 = 134
134 × 2 − 5 = 263
Второй способ проверить ответ
Можно рассмотреть разницы между соседними числами:
19 − 10 = 9
36 − 19 = 17
69 − 36 = 33
134 − 69 = 65
Получается новый ряд:
9, 17, 33, 65
Каждое следующее число равно предыдущему, умноженному на 2, минус 1:
9 × 2 − 1 = 17
17 × 2 − 1 = 33
33 × 2 − 1 = 65
Следующая разница:
65 × 2 − 1 = 129
Прибавляем её к 134:
134 + 129 = 263
Оба способа приводят к одному результату.
На каких ответах легко ошибиться
268 получается, если заметить удвоение, но пропустить вычитание.
264 появляется, если снова вычесть 4, повторив последнюю поправку. Однако вычитаемые числа растут: 1, 2, 3, 4, затем 5.
Главная ловушка состоит в том, что первая половина правила находится быстро. Числа действительно удваиваются, но результат каждый раз немного уменьшается. Для правильного ответа нужно заметить, что размер этой поправки тоже подчиняется порядку.
Почему не пять звёзд
После обнаружения двух уровней цепочка решается однозначно, а все вычисления выполняются в уме. Поэтому максимальная оценка была бы завышена.
Пять звёзд больше подходят примерам, где переплетены несколько независимых рядов, используются три операции или существуют две почти одинаково убедительные версии продолжения.
Здесь сложность честная, но правило остаётся аккуратным:
умножаем на 2, затем последовательно вычитаем 1, 2, 3, 4 и 5.
Проверка после решения
Попробуйте назвать ещё одно число.
После 263 нужно снова умножить на 2 и вычесть уже 6:
263 × 2 − 6 = 526 − 6 = 520
Продолжение выглядит так:
10, 19, 36, 69, 134, 263, 520
Если число 520 получилось без повторного чтения решения, вы запомнили весь механизм, а не только ответ под вопросительным знаком.
Четыре звезды здесь даются не за большие числа. Трудность создаёт правило, которое нужно увидеть целиком. Тот, кто остановился на одном удвоении, нашёл половину ответа. Тот, кто проследил ещё и за поправками, добрался до 263.
